Jednowymiarowe sformułowania silne i słabe dla problemu eliptycznego
Definicja 1: Sformułowanie silne dla jednowymiarowe problemu eliptycznego
\( u(0)=u_0 \) i warunkiem brzegowym Robina \( a(l)u'(l)+\beta_l u(l)=\gamma_l \) gdzie \( u_0,\beta_l,\gamma_l \in{\cal R} \), \( \Omega \ni x \rightarrow a(x),b(x),c(x), f(x) \in {\cal R} \) zadane funkcje \( a \in C^1, b,c,f \in C^0 \).
Definicja 2: Rozszerzenie warunku brzegowego Dirichleta dla jednowymiarowego problemu eliptycznego
Definicja 3: Sformułowanie słabe dla jednowymiarowego problemu eliptycznego
Sformułowanie silne przemnażamy przez funkcje z przestrzeni testujące i całkujemy
\( -\int_0^l \left( \left(a(x)u'(x)\right)'+b(x)u'(x)+c(x)u(x)\right)v(x)dx=\int_0^l f(x)v(x)dx \quad \forall v \in V=\{u\in H^1(\Omega): u(0)=0 \} \)
Całkujemy przez części pierwszy człon
\( \int_0^l a(x)u'(x)v'(x)dx-a(0)u'(0)v(0)-a(l)u'(l)v(l)+\int_0^l b(x)u'(x)v(x)dx+\int_0^l c(x)u(x)v(x)dx=\int_0^l f(x)v(x)dx \\ \forall v \in L^2(0,l) \)
Korzystamy z faktu że \( v\in V \) czyli \( v(0)=0 \), oraz podstawiamy warunek brzegowy \( a(l)u'(l)+\beta_l u(l)=\gamma_l \).
Oznaczamy \( B(u,v)=\int_0^l \left( a(x) u'(x) v'(x) +b(x)u'(x)v(x)+c(x)u(x)v(x)\right)dx + \beta u(l)v(l) \) oraz \( L(v)=\int_0^l f(x) v(x)dx + \gamma v(l) \).
Podstawiając \( w=u-\tilde{u} \) dostajemy \( w(0)=0 \) oraz \( B(w,v)=L(v)-B(\tilde{u},v) \). Dla uproszczenia notacji zamiast symbolu \( w \) używamy z powrotem symbolu \( u \).